2
-2022
( -1)
: :100
: , A, B, C D
-
1. (i) = 25 - 2p = - 2 + p , 75
(ii) :
(iii) 4x 4 - 4x3 - 7x2 - 4x + 4 = 0
2.(i) AP n , p (3p)/4 + 1
(ii) 16 , 8 ,
?
(iii) a, b, c, d , a - bb - cc - d
-
3. (i) 700 , 200 1,900 , x
y , x
2
(ii)
(iii)
(2, 0), (4, -2) (5, -3)
4. (i)
(ii) ,
(iii) A B A 25 , B 20 AB 35
AOB
-
5. (i)
(ii)
6. log x ex
-
7. (i) log wrtx
(ii) log(log)
(iii) x, ax + xx + ex
8. (i) , p = 3
(ii) y = 20 + 20x + 0.5x 2, y x , AC
MC
2
-2022
( -1)
: :100
: , A, B, C D
-
1. (i) = 25 - 2p = - 2 + p , 75
(ii) :
(iii) 4x 4 - 4x3 - 7x2 - 4x + 4 = 0
:: 1 (i):
...
:
()
()
:
• :
qd=25−2p( - , )
• :
qs=−2+p ( - , )
2
( = ) , qd=qsq_d = q_sqd=qs
,
1:
qd=qsq_
25−2=−2+
p () :
2p2p2p :
25=−2+3
2 :
27=3
3 :
=9
p = 9 q ()
qd=25−2p
=25−2(9)=25−18=7
:
• ( ): ₹9
• (q): 7
2: ₹75
,
, , ,
p (p - 75)
, :
:
=−2+
2
:
=−2+(−75)=−2+−75=−77+
:
25−2=−77+
2p :
25=−77+3
77 :
102=3
3 :
=34
:
=25−2(34)=25−68=−43
! .
, ,
( - 75) - :
:
:
=−2+(−75)=−2+−75=−77
:
25−2=−77
2p :
25=3−77
77 :
102=3=34
:
=25−2(34)=25−68=−43
2
, ! , -
-
:
• =
• ( )
•
1(ii): :
-- ,
1:
, - :
: x≥5
2:
:
:
.
:
x = 5 :
2
x = 1 :
x = 6 :
.
x = 0.5 :
.
x = 5.2 :
x = 0.01 :
.
:
:
:
x :
:
:
2
: .
? :
:
x = 0.086 ( ) , :
0.086 , (x ≥ 5) ,
1(iii): :
1:
(±1, ±2, ±4) (±1, ±2, ±4)
x = 1 :
4(1)4 – 4(1)3 – 7(1)2 – 4(1) + 4 = 4 – 4 -7 4 = 4 =-7 0 = 2 :4(16) – 4(8) – 7(4) – 4(2) +4 =
= - 1: \[4(-1)4 – 4(-1)3 - 7 (-1)2 -4(-1) + 4 = 4 + 4 = 7 + 4 + 4 = 9
= - 2 :\[4(16) = 4(=8) = 7(4) – 4(-2) + 4 =
...
,
:
x = 1 :
4 – 4 – 7 – 4 + 4 = -7 x = 2 : \[64 – 32 – 28 – 8 + 4 +
0
,
:
:\[4x4 – 4x3 – 7x2 - 4x + 4 = (x2 – x - 1) (4x2 + 4x - 4)
:
:
2
,
()
:
1. -
2.
-
3.
,
!
2.(i) AP n , p (3p)/4 + 1
(ii) 16 , 8 ,
?
(iii) a, b, c, d , a - bb - cc - d
: :
,
:
1. ()-
2. ()-
,
, ,
2
(i): n , p-
:
AP p- :
AP n
1:
AP p- :
= 1, = 2,, ,
,
:
:
:
, d
AP :
:
2: AP
2
AP n :
:
• a = =
• d = =
:
:
:
(ii):
:
16 8 , ?
1:
, a b (GM) :
:
2
• = 16
• ( a) = 8
• ( b)
2:
: 32
8 32 , 16
:
(iii): a, b, c, d , a - b, b - c, c - d
:
:
a,b,c,d
:
−, −, −
1: GP a r
a r GP :
•
•
• 2
• 3
:
2
:
GP r
:
GP
()
p- AP
A d Tp=a+(p−1)d ,
(ii)
ab=
32
(iii)
GP a−b, b−c, c−d
:
:
1. :
2. : , ( ) (
)
3.
2
:
• ₹100
• -
• (iii)
;
,
,
-
, -
!
-
3. (i) 700 , 200 1,900 , x
y , x
(ii)
(iii)
(2, 0), (4, -2) (5, -3)
:
,
:
1.
2.
3.
- - ,
2
(i): y = f(x)
:
• = ₹700
• 200 = ₹1900
• x
• x y
?
1 100,
- ,
- ,
, , ₹5
, 100 ₹500
, ,
1:
:
= +
:
• y, x
• m ()
• c ()
2:
:
• c = 700
• x = 200 , y = 1900
2
:
1900 = * 200 + 700
700 :
1200 = 200
m :
= 1200 / 200 = 6
₹6
3:
m = 6 c = 700 :
y = 6x + 700
, x ,
₹(6x + 700)
500 x = 500 :
y = 6(500) + 700 = 3000 + 700 = ₹3700
, 500 ₹3700
(ii):
5 - : , , ,
:
• ( )
• 3 ( )
2
?
, ,
: 3 5 ,
,
n , r , :
• (, ) = ! / ( - )!
n! (n ) n × (n–1) × (n–2)... × 1
:
5 3 ?
P(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 5 × 4 × 3 = 60
?
,
:
5 3 --
--
(, ) = ! / [!( - )!]
:
5 3 ?
C(5, 3) = 5! / [3! × (5 - 3)!] = 5 × 4 × 3 / (3 × 2 × 1) = 10
-
( )
( , )
2
(iii):
?
:
• (2, 0)
• (4, -2)
• (5, –3)
, ,
1: A B
(x₁, y₁) (x₂, y₂) :
= (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
AB :
= (–2 – 0) / (4 – 2) = –2 / 2 = –1
2: B C
= (–3 – (–2)) / (5 – 4) = (–1) / 1 = –1
AB = BC = -1,
3:
:
• m = –1
• : A(2, 0)
- :
y – y₁ = m(x – x₁)
:
y – 0 = –1(x – 2)=> y = –x + 2
2
:
, : y = –x + 2
,
:
1.
• = ₹700
• 200 = ₹1900
• : y = 6x + 700
2.
FORMULA
?
(, ) = ! / ( – )!
(, ) = ! / [!( –
)!]
3. 3
• : (2,0), (4,–2), (5,–3)
•
• : y = –x + 2
- ,
,
, ,
2
“” ,
—
4. (i)
(ii) ,
(iii) A B A 25 , B 20 AB 35
AOB
: :
, "
" , "
"
, " ?"
,
, ,
,
(i)
?
, - ,
•
•
:
• : {a, e, i, o, u}
2
• 10 : {2, 4, 6, 8}
• : {, , , , , , }
(, , , )
:
1. ( ):
,
: φ {}
: A = 200 , A
= {}
2. :
:
B = = {, , ..., }
3. :
( )
:
C = = {1, 2, 3, 4, ...}
4. :
:
A = {1, 2, 3}, B = {3, 2, 1}, A = B
2
5. :
,
:
X = {a, b, c}, Y = {1, 2, 3} 3
6. :
A, B A B
: A B
:
A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, A B
7. :
, A B
A, B , A ≠ B
8. :
:
1 10 , U = {1, 2, 3, ..., 10}
9. :
:
A = {1, 2}, P(A) = { {}, {1}, {2}, {1, 2} }
10. :
2
:
= {1, 2}, = {3, 4} ∩ = φ
(ii) : ,
, ,
1. (A B):
A B A B
:
= {1, 2, 3}, = {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
:
• : =
• :( ) = ( )
• : =
• : φ =
2. (A ∩ B):
A B A B
:
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}A ∩ B = {3}
:
• : ∩ = ∩
• :( ∩ ) ∩ = ∩ ( ∩ )
• : ∩ =
• : ∩ φ = φ
3. (Aᶜ):
2
A U A
:
U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, Aᶜ = {4, 5}
:
• ᶜ =
• ∩ ᶜ = φ
• (ᶜ)ᶜ =
(iii)
:
• A = n(A) = 25
• B = n(B) = 20
• A ∩ B = n(A ∩ B) = 35
n(A B) = A B
:
:
n(AB)=n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)n(AB)=n(A)+n(B)−n(A∩B)
:
n(AB)=25+20−35=10n(A B) = 25 + 20 - 35 = 10n(AB)=25+20−35=10
:
A B (, A B ) 10
?
A 25 B 20 , 35 A
B , , -
25 , 20 , 35
-
, ( )
2
?
, :
•
•
•
•
•
,
:
• ,
• , , , ,
•
•
•
• n(A B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) ,
,
, ;
2
-
5. (i)
(ii)
: I:
?
,
,
, :
, ,
:
• ()
•
•
, :
X Y f , X x Y
y
:
f(x) = y
,
• X ( )
• Y ( )
• f(x) x ( )
:
2
• 1 →
• 2 →
• 3 →
, 2
-
,
1. - - ( )
,
:
f(x) = x + 2 x = 1 → f(1) = 3x = 2 → f(2) = 4x = 3 → f(3) = 5 -
2. ( )
, Y X
:
f(x) = x² {−2, −1, 0, 1, 2} , {0, 1, 4}
"" -
3. -- ( )
-- --
:
f(x) = x + 1: {1, 2, 3}: {2, 3, 4}, ,
2
,
4.
,
:
() = 5
f(1) = 5, f(2) = 5, f(100) = 5x , f(x) = 5
, !
5.
:
() =
f(2) = 2, f(5) = 5 -
6.
x , : f(x) = x² + 2x + 3
7.
,
:
() = (x² + 1) / (x + 2)
( )
8.
:
f(x) = 2^x - x ,
2
9.
:
() = ()
- x
10.
:
(x) = (x), (x) = (x)
II:
,
?
,
,
!
,
:
, f(x) = (x² - 1)/(x - 1)
x = 1 :
→ (1² - 1)/(1 - 1) = 0/0 = !
1 :
• (0.9) = (0.81 - 1)/(-0.1) = -1.9
• (0.99) = (0.9801 - 1)/(-0.01) = -1.99
• (1.01) = (1.0201 - 1)/(0.01) = 2.01
2
2
,
f(x) 2 , :
f(1) ,
• :
(x )
• :
(x )
,
?
- ,
:
1. f(x)
2. .
3.
:
- ,
1.
“ ”
2
: x < 0 1 x ≥ 0 2
2.
: f(x) = 1/x, x = 0 , x = 0
3.
- " "
:
f(x) = (x² - 1)/(x - 1), x = 1 f(x) = x + 1 , x = 1
?
• ( )
• ( , )
• ,
:
, - ,
- () , () ,
(, ) , (, )
,
? -
,
?
2
, - ,
,
- ,
6. log x ex
: :
-
,
"" ?
, ,
, :
1. ()=
2. ()=
,
?
:
2
xxx
: xxx x+h, ,
h - x ()
,
1: x
f(x)=logx :
1:
:
,
2:
h=xt, h→0, t→0
:
3:
:
,
:
2
?
,
(), ,
,
:
- ,
logx : x , xxx
( )
: x ( ) , x
( )
2: ex
f(x) = ex
?
! :
1:
:
2
,
2:
:
:
?
ex :
•
•
•
•
,
, ,
• x>0x > 0x>0
• xxx -
• 1x\frac{1}{x}x1 xxx
2
x
• x
• x ex -
x
,
:
•
• -
• ?
,
( logx )
)
1. ln x2 ( :
)
2. ax log a
3. x=1, x=10x, x=100 ex logx
:
2
-
,
-
7. (i) log wrtx
(ii) log(log)
(iii) x, ax + xx + ex
: :
, ()
(ˣ)
, ,
1. ?
:
=
,
=x
b a ( )
:
• log₁₀(x) log(x) ( 10)
• ln(x) , e, e ≈ 2.718.
2. :
:
• (a × b) = a + b
2
• ( / ) = –
• (aᵇ) = b a
3. :
:
x
1 /
1 /
ˣ
ˣ
ˣ
[f(x)]
'(x)/(x)
,
7 (i):
[(cx + d)/(ax + b)] wrt x
:
:
:
:
• log(f(x)) f'(x)/f(x)
2
:
•
\frac{d}{dx}[\log(cx + d)] = \frac{c}{cx + d}]
•
\frac{d}{dx}[\log(ax + b)] = \frac{a}{ax + b}]
:
:
7 (ii):
( ^√(2x))
,
:
:
1: e^{√(2x)}
:
:
2: :
2
:
:
:
:
7 (iii):
ax + xx + e^x wrt x
:
-
1: ax
:
2: xx
x
:
2
:
:
:
y1=xx :
3:
:
:
:
2
: ?
,
,
:
log , f(x)
?
:
1. ( xx)
2. (//)
– ?
1. : , ,
/
2. : ,
3. :
4. : ( )
2
:
()
(ii)
(iii)
,
,
, -
x^x log(log(...))
8. (i) , p = 3
(ii) y = 20 + 20x + 0.5x 2, y x , AC
MC
: :
,
:
1.
2. () ()
2
- - ,
1:
-
,
,
?
:
" , ; ,
- "
:
()
10% 2% ,
( )
20% , ( )
:
:
• dq ( )
• p
• q
(i): q=20p+1q = \frac{20}{p + 1}q=p+120 ,
p=3p = 3p=3.
2
:
1: p = 3 q
:
p=3p = 3p=3:
2:
:
:
p=3p = 3p=3 , :
3:
:
:
1 , p=3p = 3p=3 :
• 1% 1%
2
•
:
,
, ,
2: ,
:
• - ,
• -
,
()
:
:
• y
• x
:
• 20: ( )
• 20x:
• 0.5x2: (, )
() ?
() :
2
,
:
- x ,
, -
() ?
()
:
:
,
- , ?
- ,
:
4 (x=4x = 4x=4)
1:
2
2:
:
3:
?
, :
• ?
• ?
• ?
, ,
•
• 1 ( )
• :
•
2
• MC
• ,
,
-
,
- ,
“ ” “ ” ,
—
—
"
, "
